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融入數(shù)學(xué)文化 感受數(shù)學(xué)魅力
摘要：高中學(xué)生的文化認(rèn)知具有同喻性和不均衡性特點(diǎn)。數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)是：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特征表現(xiàn)為群體的活動(dòng)性，文化學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)”課程表現(xiàn)為系統(tǒng)的開放性，數(shù)學(xué)文化的“學(xué)習(xí)”過程表現(xiàn)為知識(shí)的默會(huì)性。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；文化認(rèn)知
《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在基本理念中充分肯定了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，特別是在“課程實(shí)施建議”的“教材編寫建議”中指出，教材可以在適當(dāng)?shù)牡胤浇榻B有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)（數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣聞與數(shù)學(xué)史料）。而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》則進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)文化’的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)史選講’等專題�！笨梢姡瑪�(shù)學(xué)文化已逐步從理念走進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂。如何使數(shù)學(xué)文化真正走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，一個(gè)比較現(xiàn)實(shí)的做法是使之融入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。這不僅要重視數(shù)學(xué)學(xué)科本身的文化價(jià)值，還要探討學(xué)生的文化認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)文化、數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系做深入的考察。
一、高中學(xué)生的文化認(rèn)知特點(diǎn)
根據(jù)維果茨基的“文化發(fā)展的一般發(fā)生學(xué)原理”：兒童的文化發(fā)展所有機(jī)能出現(xiàn)兩次或兩個(gè)層面，先是社會(huì)層面，接著是心理層面。首先它作為心理間的范疇出現(xiàn)在人們之間，然后作為心理內(nèi)的范疇進(jìn)入兒童中。[1]可見，從文化的視角剖析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，至少要采用社會(huì)學(xué)和心理學(xué)的觀點(diǎn)。
（一）同喻性
一個(gè)時(shí)代文化環(huán)境的形成離不開文化的傳遞機(jī)制。美國(guó)人類學(xué)家瑪格麗特·米德從研究人類社會(huì)文化傳遞的差異出發(fā)，將人類的文化變遷劃分為三個(gè)部分：后喻文化、同喻文化和前喻文化，其中同喻文化是指學(xué)習(xí)主要發(fā)生在同輩人之間，其基本特點(diǎn)是以當(dāng)代流行的行為模式作為自己的行為準(zhǔn)則。今天的高中學(xué)生帶有同喻文化的特征。
高中學(xué)生的同伴影響逐步擴(kuò)大。我國(guó)絕大部分高中學(xué)生是獨(dú)生子女，在家里缺乏可以溝通的兄弟姐妹。而在多數(shù)中學(xué)，一個(gè)班級(jí)通常有四五十人之多。家庭和學(xué)校之間存在著的差異使他們更傾向于在學(xué)校群體生活中表達(dá)和交流自己的思想，同齡人的觀念、行為對(duì)他們產(chǎn)生較大的影響。
中學(xué)教師的長(zhǎng)輩角色正在淡化。社會(huì)的迅猛發(fā)展，使教師再也無法通過施加壓力來傳播舊的文化觀念，原來的自上而下的教育模式已失去了部分魅力，許多青年人通過自己摸索和感受萌生了前人未曾有過的想法和期望。特別是高中學(xué)生，由于知識(shí)的增長(zhǎng)及心理的逐漸成熟，開始比較多地從個(gè)體存在與發(fā)展的角度來思考社會(huì)與人生，他們已經(jīng)不可能也不必完全照搬前輩的經(jīng)驗(yàn)去刻畫自己的人生軌跡。那種后喻文化中說教式的思想教育方式，比以往更不容易為學(xué)生所接受。
作為文化的數(shù)學(xué)正以學(xué)生樂于認(rèn)同的方式被傳播。數(shù)學(xué)具備文化獨(dú)有的特性：它是延續(xù)人類思想的一種工具，是描述世界圖式的有力助手，精確的形式化、簡(jiǎn)潔的符號(hào)表征常常被成功地運(yùn)用到其他科學(xué)領(lǐng)域。伴隨著科學(xué)技術(shù)在社會(huì)生活領(lǐng)域的不斷滲透，學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)聯(lián)系數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)新課程背景下，一些密切聯(lián)系學(xué)生生活的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入高中教材。網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的普及使學(xué)生得以快速了解大量知識(shí)。不斷拓寬的信息通道，活潑平易的呈現(xiàn)方式，使數(shù)學(xué)有機(jī)會(huì)向?qū)W生展示它人文的一面。
（二）不均衡性
人的認(rèn)知源于人與大自然、與社會(huì)和文化之間的相互作用，其發(fā)展又與個(gè)體內(nèi)部的認(rèn)知因素密切相關(guān)。由于學(xué)生的大量知識(shí)通過學(xué)校習(xí)得，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在相當(dāng)程度上取決于學(xué)校所傳授的知識(shí)內(nèi)容及其形成過程。聯(lián)系我國(guó)目前高中教育的實(shí)際情況，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的認(rèn)知存在如下問題。
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)的不均衡造成學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)”的文化感知產(chǎn)生偏差。學(xué)校的學(xué)科設(shè)置力求體現(xiàn)當(dāng)代人類知識(shí)的主要特征，現(xiàn)代人類知識(shí)總體結(jié)構(gòu)中，關(guān)于自然科學(xué)與技術(shù)科學(xué)的知識(shí)部門已大大超過了人文社會(huì)科學(xué)。人類6000余種學(xué)科中，屬于科技類的知識(shí)約占總數(shù)的。與之相應(yīng)，我國(guó)普通高中課程雖然設(shè)置了政治、歷史和地理，但在學(xué)校的地位卻難以與數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)等相比。如果高一階段有若干可以機(jī)動(dòng)安排的課時(shí)，學(xué)校更愿意留給數(shù)理化等學(xué)科。由此造成的一個(gè)突出現(xiàn)象是，文、理科學(xué)生人數(shù)的差距巨大，尤其是經(jīng)濟(jì)較為發(fā)達(dá)的地區(qū)，如浙江省的文科學(xué)生通常只占同年級(jí)人數(shù)的左右。人文知識(shí)與科學(xué)知識(shí)的不均衡，使學(xué)生文化素養(yǎng)不夠全面，對(duì)待事物容易就事論事。有不少學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是確定的，數(shù)學(xué)問題有且只有一個(gè)答案，學(xué)校中學(xué)到的數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中很少有價(jià)值。
2.組織結(jié)構(gòu)的不均衡導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)”的文化認(rèn)同出現(xiàn)逆差。人們重視科技教育而忽視人文教育，“不只表現(xiàn)在教育規(guī)模、教育結(jié)構(gòu)方面，更表現(xiàn)在課程與教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式方法方面，換句話說，科技文化統(tǒng)治著學(xué)校教育，科技知識(shí)、理性思維廣泛而深入地影響和左右著學(xué)校教育教學(xué)過程”。造成學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的組成方式不均衡。在中學(xué)界，幾乎所有的教師和學(xué)生都相當(dāng)重視數(shù)學(xué)，但他們對(duì)待數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)不同，其中不乏出于高考的壓力。由此帶來的負(fù)面影響是：教學(xué)中存在著重結(jié)果、重應(yīng)用的現(xiàn)象，忽略數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的過程，知識(shí)的生成是快速的，知識(shí)之間連接的鏈條被機(jī)械地焊接，知識(shí)的運(yùn)用中充斥著大量的習(xí)題。在“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)與做出來的數(shù)學(xué)”之間，很難將數(shù)學(xué)看成是人類的活動(dòng)。學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)”得越多，對(duì)文化的認(rèn)同反而越少。
二、數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)
數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融合的過程中，文化、數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)三者之間的內(nèi)在關(guān)系必以某種形態(tài)表現(xiàn)出來，而這些表現(xiàn)形態(tài)又將決定我們采取相應(yīng)的方式。在分析高中學(xué)生文化認(rèn)知特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，筆者將從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特征、文化學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)”課程以及數(shù)學(xué)文化的“學(xué)習(xí)”過程三個(gè)方面探討數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)。
（一）群體的活動(dòng)性
群體與活動(dòng)是數(shù)學(xué)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)教育過程的直接表現(xiàn)。一旦我們以文化的理念開展數(shù)學(xué)教育，這種表現(xiàn)形態(tài)便應(yīng)運(yùn)而生。
其一，數(shù)學(xué)教育的文化觀強(qiáng)調(diào)學(xué)生以活動(dòng)的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
數(shù)學(xué)作為人們描述客觀世界的一種量化模式，它當(dāng)然是人類文化的一個(gè)組成部分。在承認(rèn)這一“客觀性”的基礎(chǔ)上，相對(duì)于認(rèn)識(shí)主體而言，數(shù)學(xué)對(duì)象終究不是物質(zhì)世界中的真實(shí)存在，而是抽象思維的產(chǎn)物，它是一種人為約定的規(guī)則系統(tǒng)�？梢�，數(shù)學(xué)的文化觀念不僅承認(rèn)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用，還強(qiáng)調(diào)“人”在數(shù)學(xué)文化體系形成過程中的能動(dòng)作用。美國(guó)文化學(xué)家克羅伯和克拉克洪在文化的界定中指出：“文化體系一方面可以看作是活動(dòng)的產(chǎn)物，另一方面是進(jìn)一步活動(dòng)的決定因素。”這說明人的主觀能動(dòng)性主要表現(xiàn)在活動(dòng)的參與中，通過活動(dòng)，使知識(shí)學(xué)習(xí)與精神教化自然地結(jié)合起來。并且，數(shù)學(xué)文化的滲透性具有內(nèi)在和外顯兩種方式，其內(nèi)在方式表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的理性精神對(duì)人類思維的深刻滲透力。因而，在數(shù)學(xué)教育中，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的主體地位，通過學(xué)生的主動(dòng)參與，發(fā)揮數(shù)學(xué)在精神領(lǐng)域上的教育功效。
其二，文化意義上的數(shù)學(xué)教育提倡群體的交流與合作。
文化的概念始終與群體、傳統(tǒng)等密切相關(guān)。在現(xiàn)代人類文化學(xué)的研究中，關(guān)于文化的一個(gè)較為流行的定義是：“由某種因素（居住地域、民族性、職業(yè)等）聯(lián)系起來的各個(gè)群體所特有的行為、觀念和態(tài)度等。”在現(xiàn)代社會(huì)中，數(shù)學(xué)家顯然構(gòu)成了一個(gè)特殊群體──數(shù)學(xué)共同體，在數(shù)學(xué)共同體內(nèi)，每個(gè)數(shù)學(xué)家都必然地作為其中的一員從事自己的研究活動(dòng)，從而也就必然地處在一定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之中，個(gè)人的數(shù)學(xué)創(chuàng)造最終必須接受社會(huì)的裁決。“只有為相應(yīng)的社會(huì)共同體（即數(shù)學(xué)共同體）一致接受的數(shù)學(xué)概念才能真正成為數(shù)學(xué)的成分。”[3]文化意義上的數(shù)學(xué)正是關(guān)注到了數(shù)學(xué)與整體性文化環(huán)境的關(guān)系，數(shù)學(xué)“不應(yīng)被等同于知識(shí)的簡(jiǎn)單匯集，而應(yīng)主要地被看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，一種以‘?dāng)?shù)學(xué)共同體’為主體，并在一定環(huán)境中所從事的活動(dòng)�！�
可見，一個(gè)富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí)，蘊(yùn)涵著一定的“社會(huì)性”。教科書上貌似明了的敘述，其實(shí)是經(jīng)過歷史蕩滌的精華，承載著復(fù)雜的文化背景。在學(xué)校教育的條件下，教師與學(xué)生自然構(gòu)成了一個(gè)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體”，雖然他們未必能發(fā)明或創(chuàng)造出新的理論，但面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，各成員有著不同的行為、觀念和態(tài)度，這些差異常常在相同的時(shí)間聚集于同一個(gè)環(huán)境。鑒于高中學(xué)生文化認(rèn)知的同喻性，某個(gè)學(xué)生的見解需要接受共同體的評(píng)價(jià)才能被承認(rèn)，教師的教學(xué)內(nèi)容同樣需要經(jīng)過共同體的認(rèn)同才有可能真正被學(xué)生內(nèi)化。因此，從文化的角度來看，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是一種微觀的數(shù)學(xué)文化。
由于學(xué)生主要通過在教室中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，所以，數(shù)學(xué)文化教育的中心場(chǎng)所應(yīng)在教室。已有的國(guó)內(nèi)外研究表明，教師和學(xué)生所具有的各種與數(shù)學(xué)教學(xué)直接相關(guān)的觀點(diǎn)、信念等是影響數(shù)學(xué)教室文化的重要因素，彼此的數(shù)學(xué)交流與合作是構(gòu)建教室文化的主體部分。近幾年來，現(xiàn)代教育學(xué)正將這種相互交換想法的學(xué)習(xí)（即互惠性學(xué)習(xí)reciprocallearning）當(dāng)做未來學(xué)習(xí)的模式，作為建構(gòu)新的教室文化的指標(biāo)。
（二）系統(tǒng)的開放性
群體的活動(dòng)顯然可以貼切地表現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特性，但這些活動(dòng)始終在“數(shù)學(xué)”范疇內(nèi)展開。我們有必要探究高中數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)。
從文化傳承上看，高中數(shù)學(xué)課程具有組織構(gòu)成的開放性，主要表現(xiàn)為它與社會(huì)生活及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。作為人類文化的一個(gè)子系統(tǒng)，數(shù)學(xué)并不是一個(gè)完全封閉的系統(tǒng)，外部力量對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展也起著決定性作用。例如，二次世界大戰(zhàn)就曾促進(jìn)了系統(tǒng)分析、博弈論、運(yùn)籌學(xué)和信息論等學(xué)科的研究。雖然高中數(shù)學(xué)課程有別于一般意義上的數(shù)學(xué)，出于教育的目的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了重新整合，但這種“教育加工”仍然要盡量地展示數(shù)學(xué)科學(xué)的原貌，以達(dá)到文化傳承的目的。我們可以看到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些分支等正逐步地進(jìn)入高中教材。雖然外部力量對(duì)基礎(chǔ)教育階段的中學(xué)數(shù)學(xué)課程沒有如此巨大的影響，但它們表明了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用價(jià)值，從而為高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的開放性給出了有力的證明。例如，教材中的有限與無限、隨機(jī)與確定、結(jié)構(gòu)與算法等都與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)有聯(lián)系，而數(shù)列、線性規(guī)劃等直接地涉及學(xué)生的社會(huì)生活。
從文化傳播上看，高中數(shù)學(xué)課程具有觀念整合的開放性，通過課程的活化促進(jìn)文化增殖。數(shù)學(xué)課程中內(nèi)容的選擇、編寫乃至實(shí)踐，不可避免地受到各種社會(huì)、文化與觀念等要素的影響，從而在傳播的過程中產(chǎn)生文化的擴(kuò)展和延伸。課程作為文化傳播的一種手段，并不是簡(jiǎn)單地復(fù)制，更主要的是通過文化增殖起到一種強(qiáng)烈的活化作用。在中學(xué)階段，雖然各位教師面對(duì)的是同一本教材，但教師總是要根據(jù)具體教學(xué)過程的需要進(jìn)行具體的再加工，而這種加工的過程又必然會(huì)溶進(jìn)每個(gè)教師特有的個(gè)性因素，滲透著教師本人的世界觀，體現(xiàn)他的精神面貌并以此對(duì)學(xué)習(xí)者產(chǎn)生影響。同時(shí)，由于學(xué)生個(gè)體素質(zhì)的多樣性，即使是由同一位教師傳遞并且傳遞的文化實(shí)質(zhì)完全相同，對(duì)每個(gè)學(xué)習(xí)者來說，文化信息的接受也存在著差異。
從文化傳遞上看，高中數(shù)學(xué)課程具有整體效能的開放性，通過系統(tǒng)屬性的聯(lián)合作用，發(fā)揮出“整體大于部分和”的功效。在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)部，各子系統(tǒng)既保持著縱向的知識(shí)序，又維系著橫向的方法序。例如，從指數(shù)函數(shù)到對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)到反三角函數(shù)，這些知識(shí)被有序地排列著，它們之間借助反函數(shù)融為一體，利用數(shù)形結(jié)合的方法，生動(dòng)地刻畫出函數(shù)的性質(zhì)。在其外部，高中數(shù)學(xué)課程以工具性學(xué)科的地位與其他中學(xué)“友鄰”課程形成協(xié)同關(guān)系�！皵�(shù)學(xué)課程向‘友鄰’課程提供知識(shí)和智能方面的儲(chǔ)備工具，又從‘友鄰’課程那里獲得需求信息、實(shí)證材料、強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)智能的場(chǎng)所�！崩�，函數(shù)與物理的勢(shì)能、立體幾何與化學(xué)的分子結(jié)構(gòu)、排列組合與生物的基因分析、對(duì)稱與語文的對(duì)偶等。
文化與課程的關(guān)系表明，高中數(shù)學(xué)課程是一個(gè)開放的文化體系。作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，要在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，要對(duì)“數(shù)學(xué)”有正確的認(rèn)識(shí)，那就是：是整體的數(shù)學(xué)，而不是分散、孤立的各個(gè)分支；是廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)，而不僅是象牙塔里的嚴(yán)密體系；是與其他科學(xué)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，而不是純而又純的抽象理念。
（三）知識(shí)的默會(huì)性
對(duì)群體活動(dòng)與數(shù)學(xué)課程的考察，有助于我們把握數(shù)學(xué)文化表現(xiàn)形態(tài)的總體脈絡(luò)，但數(shù)學(xué)文化必須通過學(xué)習(xí)才能被學(xué)生領(lǐng)悟。由于文化由外顯的和內(nèi)隱的行為模式構(gòu)成，作為文化的數(shù)學(xué)與作為科學(xué)的數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)過程中也有所不同。
科學(xué)的數(shù)學(xué)追求完全確定的知識(shí)、精確的運(yùn)算與嚴(yán)密的推理，追求用簡(jiǎn)單且抽象的語言來描述客觀世界的規(guī)律。在客觀主義知識(shí)觀、科學(xué)觀的支配下，人們過多地強(qiáng)調(diào)知識(shí)的客觀性、非個(gè)體性、完全的明確性等等，出現(xiàn)了“人的隱退”現(xiàn)象。
其實(shí)，知識(shí)并不是孤立的、靜態(tài)的、純形式邏輯的，而是常常與人休戚相關(guān)的。“自然科學(xué)與人文科學(xué)一樣，充滿著人性因素，科學(xué)實(shí)質(zhì)上是一種人性化的科學(xué)�！痹趪�(guó)際哲學(xué)界以創(chuàng)立意會(huì)認(rèn)知理論（TacitKnowing）而聞名的英國(guó)物理化學(xué)家和哲學(xué)家波蘭尼從“我們所知道的要比我們所能言傳的多”出發(fā)，把人類的知識(shí)分為明言知識(shí)與默會(huì)知識(shí)。明言知識(shí)指以書面、圖表和數(shù)學(xué)公式加以表述的知識(shí)，默會(huì)知識(shí)是指未被表述的、我們知道但難以言傳的知識(shí)，例如，我們?cè)谧瞿呈碌男袆?dòng)中所擁有的知識(shí)。波蘭尼認(rèn)為：“在非言傳的‘意會(huì)’認(rèn)知層面，科學(xué)與人文是相通的。”
既然這種默會(huì)知識(shí)藏于內(nèi)心，無法用明確的規(guī)則來表達(dá)，那么該怎樣學(xué)習(xí)傳授呢？波蘭尼指出：“通過了解同樣活動(dòng)的全過程，我們才能了解另一個(gè)人的內(nèi)心東西。”基于高中學(xué)生的文化認(rèn)知特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，我們可以通過以下方式突出數(shù)學(xué)知識(shí)中的“人性”。
1.客觀對(duì)象“數(shù)學(xué)化”。弗賴登塔爾曾言：“我們的教育應(yīng)當(dāng)為青年人創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓他們通過自己的活動(dòng)來獲得文化遺產(chǎn)。”對(duì)學(xué)生而言，“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做�！盵8]通過“做”數(shù)學(xué)，“學(xué)生和學(xué)生之間的相互作用真實(shí)地反映了在數(shù)學(xué)課堂中形成的文化：具體的教師、具體的學(xué)生以及正在形成的具體的‘?dāng)?shù)學(xué)化’。”
2.數(shù)學(xué)解題“擬人化”。從文化的角度審視數(shù)學(xué)解題過程，它是策略創(chuàng)造與邏輯材料、技巧性與程式化的有機(jī)結(jié)合，是一個(gè)有序結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一體，它與數(shù)學(xué)的特征相一致，隱含著數(shù)學(xué)家的思維方式，從而使解題超越了數(shù)學(xué)思維活動(dòng)本身的范圍，進(jìn)一步延伸到文化道德、思想修養(yǎng)的素質(zhì)范疇。G·波利亞的《怎樣解題》中包含了程序化的解題系統(tǒng)、啟發(fā)式的過程分析、開放型的念頭誘發(fā)及探索性的問題轉(zhuǎn)換等，字里行間不時(shí)地涌現(xiàn)出諸如“如果你有一個(gè)念頭，你是夠幸運(yùn)的了”“好的題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似，它們都成串生長(zhǎng)”“呆頭呆腦地干等著某個(gè)念頭的降臨”這些平和的話語，使讀者不知不覺間置身其中，一些解題外的感受也油然而生。優(yōu)秀學(xué)生對(duì)解題感興趣，更多時(shí)候像在做游戲，說明數(shù)學(xué)習(xí)題中蘊(yùn)涵著很多人性化的品質(zhì)──題中尋趣，在于換個(gè)角度看問題。
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