關(guān)于數(shù)學(xué)的期末考試試卷
第Ⅰ卷 (選擇題 共50分)
一、選擇 題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。
1.已知平面向量 ， ，且 ，則實(shí)數(shù) 的值為
A. B. C. D.
2.設(shè)集合 ， ，若 ，則實(shí)數(shù) 的值為
A. B. C. D.
3.已知直線 平面 ,直線 ,則 是 的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4. 定義： .若復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足 ，則 等于
A. B. C. D.
5.函數(shù) 在 處的切線方程是
A. B. C. D.
6. 某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)輸入如下 四個(gè)函數(shù)，
則可以輸出的函數(shù)是
A. B. C. D.
7. 若函數(shù) 的圖象(部分)如圖所示，
則 和 的取值是
A. B.
C. D.
8. 若函數(shù) 的零點(diǎn)與 的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò) ，則 可以是
A. B. C. D.
9.已知 ，若方程 存在三個(gè)不等的實(shí)根 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.
10.已知集合 , 。若存在實(shí)數(shù) 使得 成立,稱(chēng)點(diǎn) 為￡點(diǎn)，則￡點(diǎn)在平面區(qū)域 內(nèi)的個(gè)數(shù)是
A. 0 B.1 C .2 D. 無(wú)數(shù)個(gè)
第二卷(非選擇題共100分)
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分. 把答案填在答題卡上.
11. 已知隨機(jī)變量 ，若 ，則 等于 ******.
12.某幾何體的三視圖如下右圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是 ****** .
13. 已知拋物線 的準(zhǔn)線 與雙曲線 相切，
則雙曲線 的離心率 ****** .
14.在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是9，則實(shí)數(shù) 的值為 ****** .
15. 已知不等式 ，若對(duì)任意 且 ，該不等式恒成立，則實(shí)
數(shù) 的取值范圍是 ****** .
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16.(本小題滿(mǎn)分13分)
在等差數(shù)列 中， ，其前 項(xiàng)和為 ，等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， ，公比為 ，且 ， .
(Ⅰ)求 與 ;
(Ⅱ)證明： .
17. (本小題滿(mǎn)分13分)
已知向量
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)求由 的圖象、 軸的正半軸及 軸的正半軸三者 圍成圖形的面積。
18. (本小題滿(mǎn)分13分)圖一，平面四邊形 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)， ， ， .把 沿 折起(如圖二)，使二面角 的余弦值等于 .
對(duì)于圖二，完成以下各 小題：
(Ⅰ)求 兩點(diǎn)間的距離;
(Ⅱ)證明： 平面 ;
(Ⅲ)求直線 與平面 所成角的正弦值.
19. (本小題滿(mǎn)分13分) 二十世紀(jì)50年代，日本熊本縣水俁市的許多居民都患了運(yùn)動(dòng)失調(diào)、四肢麻木等癥狀，人們把它稱(chēng)為水俁病.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)一家工廠排出的廢水中含有甲基汞，使魚(yú)類(lèi)受到污染.人們長(zhǎng)期食用含高濃度甲基汞的魚(yú)類(lèi)引起汞中毒. 引起世人對(duì)食品安全的關(guān)注.《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過(guò)1.00ppm.
羅非魚(yú)是體型較大，生命周期長(zhǎng)的食肉魚(yú)，其體內(nèi)汞含量比其他魚(yú)偏高.現(xiàn)從一批羅非魚(yú)中隨機(jī)地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測(cè)得各條魚(yú)的汞含量的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉)如下：
(Ⅰ)若某檢查人員從這15條魚(yú)中，隨機(jī)地抽出3條，求恰有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)的概率;
(Ⅱ)以此15條魚(yú)的樣本數(shù)據(jù).若從這批數(shù)量很大的魚(yú)中任選3條魚(yú)，記表示抽到的魚(yú)汞含量超標(biāo)的條數(shù)，求的分布列及E
20. (本小題滿(mǎn)分14分)
已知焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 過(guò)點(diǎn) ，且離心率為 , 為橢圓 的左頂點(diǎn).
(1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知過(guò)點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn).
�、� 若直線 垂直于 軸，求 的大小;
② 若直線 與 軸不 垂直，是否存在直線 使得 為等腰三角形?如果存在，求出直線 的方程;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21. (本小題共14分)
已知 是由滿(mǎn)足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意 ，
�、� 方程 有實(shí)數(shù)根;② 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 滿(mǎn)足 .
普通高中20122013中聯(lián)合考試
高三數(shù)
解答題
16.解：(Ⅰ)設(shè) 的公差為 ，。
因?yàn)?所以 3分
解得 或 (舍)， .。
故 ， .6分
(Ⅱ)因?yàn)?。
所以 .9分
故
11分
因?yàn)?，所以 ，于是 ，。
所以 .
即 13分
17.解：(Ⅰ) 2分
4分
6分
，
。 7分
(Ⅱ)令 =0,解得
易知 的圖象與 軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為 。 9分
所以 的圖象、 軸的正半軸及形的面積
。11分
13分
18.解：(Ⅰ)取 的中點(diǎn) ，連接 ，
由 ，得：
就是二面角 的平面角，即 2分
在 中，解得 ，又
，解得 。 4分
(Ⅱ)由 ，
， ，
， 又 ， 平面 .8分
(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知 平面 ， 平面
平面 平面 ，平面 平面 ，
就是 與平面 所成的角。11分
.13分
方 法二：設(shè)點(diǎn) 到平面 的距離為 ，。
∵ ， ，
， 11分
于是 與平面 所成角 的正弦為 .13分
方法三：以 所在直線分別為 軸， 軸和 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，。
則 .
設(shè)平面 的法向量為 ，則
， ， ， ，
取 ，則 ， 11分
于是 與平面 所成角 的正弦 .13分
19.解：(I)記15條魚(yú)中任選3條恰好有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)為事件A
則 .
15條魚(yú)中任選3條恰好有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)的概率為 5分
(II)解法一：依題意可知，這批羅非魚(yú)中汞含量超標(biāo)的魚(yú)的概率P= ，7分
所有的取值為0，1，2，3，其分布列如下：
0123
P()
11分
所以～ ， 12分
所以E=1. 13分
解法 二：依題意可知，這批羅非魚(yú)中汞含量超標(biāo)的魚(yú)的概率P= ， 7分
所有的取值為0，1，2，3，其分布列如下：
0123
P()
11分
所以E= . 13分
20.解：(Ⅰ)設(shè)橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，且 .
由題意可知： ， . 2分
解得 .
橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .設(shè) .
(ⅰ)當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，直線 的方程為 .
由 解得： 或
即 (不妨設(shè)點(diǎn) 在 軸上方). 5分
則直線 的斜率 ，直線 的斜率 .
∵ ，得 .
. 6分
(ⅱ)當(dāng)直線 與 軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線 的方程為 .
由 消去 得： .
因?yàn)?點(diǎn) 在橢圓 的內(nèi)部，顯然 .
8分
因?yàn)?， ， ，
所以
. 即 為直角三角形. 11分
假設(shè)存在直線 使得 為等腰三角形，則 .
取 的中點(diǎn) ，連接 ，則 .
記點(diǎn) 為 .
另一方面，點(diǎn) 的橫坐標(biāo) ，。
點(diǎn) 的縱坐標(biāo) .
又
故 與 不垂直，矛盾.
所以 當(dāng)直線 與 軸不垂直時(shí)，不存在直線 使得 為等腰三角形.
13分
21.解：(Ⅰ)因?yàn)棰佼?dāng) 時(shí)， ，。
所以方程 有實(shí)數(shù)根0;
�、� ，
所以 ，滿(mǎn)足條件 ;
由①②，函數(shù) 是集合 中的元素. 5分
(Ⅱ)假設(shè)方程 存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ， ，。
則 ， .
不妨設(shè) ，根據(jù)題意存在 ，。
滿(mǎn)足 .
因?yàn)?， ，且 ，所以 .
與已知 矛盾.又 有實(shí)數(shù)根，。
所以方程 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. 10分
(Ⅲ)當(dāng) 時(shí)，結(jié)論顯然成立; 11分
當(dāng) ，不妨設(shè) .
因?yàn)?,且 所以 為增函數(shù)，那么 .
又因?yàn)?，所以函數(shù) 為減函數(shù)。
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