高中數(shù)學必修3知識點總結(jié)：第一章 算法初步

　　總結(jié)就是對一個時期的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統(tǒng)的回顧和分析的書面材料，它能幫我們理順知識結(jié)構(gòu)，突出重點，突破難點，因此好好準備一份總結(jié)吧。那么我們該怎么去寫總結(jié)呢？以下是小編整理的高中數(shù)學必修3知識點總結(jié)：第一章 算法初步，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　第一章算法初步

　　1.1.1

　　算法的概念

　　1、算法概念：

　　在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點:

　　（1）有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的

　　（2）確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應當是模棱兩可.

　�。�3）順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

　　（4）不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

　�。�5）普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.

　　1.1.2程序框圖

　　1、程序框圖基本概念：

　�。ㄒ唬┏绦驑�(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

　　（二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

　　程序框起止框輸入、輸出框處理框判斷框“Y”；不成立時標明“否”或“N”。寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需名稱功能表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。

　　學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

　　1、使用標準的圖形符號。

　　2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。

　　3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。

　　4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。

　　5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

　�。ㄈ�）算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

　　1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。

　　2、條件結(jié)構(gòu)：

　　條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

　　條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。

　　3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：（1）一類是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

　�。�2）另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

　　當型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)ABAAP不成立構(gòu)要在某個條件循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)下終止循允許“死循環(huán)”。P注意：1循環(huán)結(jié)不成立成立環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，成立2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

　　1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

　　1、輸入語句

　�。�1）輸入語句的一般格式

　　INPUT“提示內(nèi)容”；變量圖形計算器格式

　　（2）輸入

　　INPUT“提示內(nèi)容”，變量語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；

　�。�3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；

　�。�4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；

　�。�5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。

　　2、輸出語句

　�。�1）輸出語句的一般格式輸PRINT“提示內(nèi)容”；表達式圖形計算器格式Disp“提示內(nèi)容”，變量

　�。�2）出語

　　句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；

　�。�3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；

　�。�4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。

　　3、賦值語句

　　（1）賦值語句的一般格式

　�。�2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；

　　（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；

　　（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；

　�。�5）對于一個變量可以多次賦值。

　　注意：

　　①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。

　　②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結(jié)果是不同的。

　　③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）

　　④賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。1.2.2條件語句

　　1、條件語句的一般格式有兩種：

　�。�1）IFTHENELSE語句；

　　（2）IFTHEN語句。

　　2、IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。

　　圖形計算器變量＝表達式格式表達式變量IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF滿足條件？是語句1否

　　語句2

　　圖1圖2

　　分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句

　　IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。

　　IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

　　是滿足條件？否（圖4）語句注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作

　　內(nèi)容，條件不滿足時，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

　　1.2.3循環(huán)語句

　　循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句

　�。�1）WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是

　　循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？否是（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句

　�。�1）UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是

　�。�2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體否滿足條件？是

　　條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）

　　（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

　　1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

　　1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

　�。�1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商

　　S0和一個余數(shù)R0；

　�。�2）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)除以余數(shù)

　　R0得到一個商S1和一個余數(shù)R1；

　�。�3）：若R1＝0，則R1為m，n的最大公約數(shù)；若R1≠0，則用除數(shù)R0R1得到一個商S2和一個余數(shù)R2；依次計算直至Rn＝0，此時所得到的Rn1即為所求的最大公約數(shù)。

　　2、更相減損術(shù)

　　我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

　　翻譯為：

　�。�1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。

　�。�2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析：（略）

　　3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

　�。�1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

　�。�2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到

　　1.3.2秦九韶算法與排序

　　1、秦九韶算法概念：

　　f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

　　f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+….+a1）x+a0=（（anxn-2+an-1xn-3+….+a2）x+a1）x+a0

　　=......=（...（anx+an-1）x+an-2）x+...+a1）x+a0

　　求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

　　這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。

　　2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

　　（1）直接插入排序

　　基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置.將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中.（由于算法簡單，可以舉例說明）

　�。�2）冒泡排序

　　基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

　　1.3.3進位制

　　1、概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制�，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

　　一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：anan1...a1a0（k）（0ank,0an1,...,a1,a0k），而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001（2）表示二進制數(shù),34（5）表示5進制數(shù)

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