中國(guó)剩余定理的解題技巧

　　剩余定理一般指孫子定理。孫子定理是中國(guó)古代求解一次同余式組（見同余）的方法。是數(shù)論中一個(gè)重要定理。以下是小編幫大家整理的中國(guó)剩余定理的解題技巧，希望對(duì)大家有所幫助。

　　中國(guó)剩余定理的解題技巧

　　有1個(gè)數(shù)，除以7余2，除以8余4，除以9余3，這個(gè)數(shù)至少是多少？

　　這種問(wèn)題稱為“中國(guó)剩余定理”問(wèn)題。

　　我一般用兩種方法解決這類問(wèn)題。

　　第一種是逐步滿足法，方法麻煩一點(diǎn)，但適合所有這類題目。

　　第二種是最小共倍法，方法簡(jiǎn)單，但只適合特殊類型的題目。

　　還有“中國(guó)剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復(fù)雜，普及應(yīng)用有一定難度，還不穩(wěn)定。所以一般不用。

　　下面分別介紹一下常用的兩種方法。

　　通用的方法：逐步滿足法

　　一個(gè)數(shù)，除以5余1，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？

　　把除以5余1的數(shù)從小到大排列：1，6，11，16，21，26……

　　然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現(xiàn)最小的是11。

　　所以11就是所求的數(shù)。

　　先滿足一個(gè)條件，再滿足另一個(gè)條件，所以稱之為“逐步滿足法”。

　　好多數(shù)學(xué)題目都可以用逐步滿足的思想解決。

　　特殊的方法：最小公倍法

　　情況一

　　一個(gè)數(shù)除以5余1，除以3也余1。問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？（1除外）

　　除以5余1：說(shuō)明這個(gè)數(shù)減去1后是5的倍數(shù)。

　　除以3余1：說(shuō)明這個(gè)數(shù)減去1后也是3的倍數(shù)。

　　所以，這個(gè)數(shù)減去1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個(gè)數(shù)減去1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個(gè)數(shù)減去1后是15，所以這個(gè)數(shù)是15＋1=16。

　　情況二

　　一個(gè)數(shù)除以5余4，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？

　　這種情況也可以用特殊法。

　　數(shù)除以5余4，說(shuō)明這個(gè)數(shù)加上1后是5的倍數(shù)。

　　數(shù)除以3余2，說(shuō)明這個(gè)數(shù)加上1后也是3的倍數(shù)。

　　所以，這個(gè)數(shù)加上1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個(gè)數(shù)加上1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個(gè)數(shù)加上1后是15，所以這個(gè)數(shù)是15－1=14。

　　多個(gè)數(shù)的，比如3個(gè)數(shù)的，有時(shí)候其中兩個(gè)可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個(gè)條件的數(shù)后再用通用的方法求滿足最后一個(gè)條件的數(shù)。

　　所以有時(shí)候特殊法和通用法混合使用。在使用的過(guò)程中如果能靈活運(yùn)用余數(shù)問(wèn)題的技巧，會(huì)非常有利于解題。

　　我們接下來(lái)分析最開始的那個(gè)問(wèn)題。

　　有1個(gè)數(shù)，除以7余2，除以8余4，除以9余3，這個(gè)數(shù)至少是多少？

　　這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過(guò)程中注意余數(shù)知識(shí)的運(yùn)用。

　　除以7余2的數(shù)可以寫成7n＋2。

　　7n＋2這樣的數(shù)除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余數(shù)知識(shí)）

　　7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余數(shù)知識(shí)），則n最小取6。

　　所以滿足“除以7余2，除以8余4”的最小的數(shù)是7×6＋2=44。

　　所有滿足“除以7余2，除以8余4”的數(shù)都可以寫成44＋56×m。（想想為什么？）

　　要求44＋56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余數(shù)知識(shí)）

　　56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余數(shù)知識(shí)），則m最小取2。

　　所以滿足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的數(shù)是44＋56×2=156。

　　剩余定理是什么

　　剩余定理是數(shù)論中的一個(gè)重要定理，主要用于解決關(guān)于整數(shù)的一些問(wèn)題。它主要分為以下幾種類型：

　　余同取余：如果一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，余數(shù)相同，那么這個(gè)數(shù)可以表示成這幾個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與余數(shù)相加的形式。例如，如果一個(gè)數(shù)除以3余1，除以4余1，除以10余1”，則這個(gè)數(shù)可表示為60n1。

　　和同加和：如果一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，除數(shù)與余數(shù)之和相同，那么這個(gè)數(shù)可以表示成這幾個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與該和相加的形式。例如，如果一個(gè)數(shù)除以5余4，除以6余3，除以8余1”，則這個(gè)數(shù)可表示為120n9。

　　差同減差：如果一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，除數(shù)與余數(shù)之差相同，那么這個(gè)數(shù)可以表示成這幾個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與該差相減的形式。例如，如果一個(gè)數(shù)除以3余1，除以4余2，除以10余8”，則這個(gè)數(shù)可表示為60n-2。

　　此外，剩余定理也被用于求解一些特定的數(shù)值問(wèn)題，例如《孫子算經(jīng)》中提到的“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二”的問(wèn)題，可以通過(guò)剩余定理找到最小正整數(shù)解。

　　在實(shí)際應(yīng)用中，剩余定理可以幫助我們確定一個(gè)數(shù)在被多個(gè)數(shù)除時(shí)的余數(shù)，進(jìn)而推算出這個(gè)數(shù)本身。例如，如果我們知道一個(gè)數(shù)被3、5、7這三個(gè)數(shù)除都余2，我們可以利用這些信息來(lái)計(jì)算這個(gè)數(shù)。

　　綜上所述，剩余定理是一種重要的數(shù)論定理，它在解決問(wèn)題時(shí)提供了簡(jiǎn)潔且有效的解決方法。

　　技巧：

　　1、模線性同余方程求解：

　　對(duì)于單個(gè)模線性同余方程ax≡b(mod m)，可以利用擴(kuò)展歐幾里得算法求出其解。

　　2、構(gòu)造乘積形式：

　　根據(jù)定理內(nèi)容，需要將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)x，在每個(gè)模mi下都滿足給定的同余條件。這通常通過(guò)先分別對(duì)每個(gè)模求解，然后利用中國(guó)剩余定理的結(jié)論進(jìn)行“拼接”。

　　3、使用遞歸或迭代法：

　　當(dāng)模數(shù)較多時(shí)，可以采用逐次求解、逐步合并的方法，類似于輾轉(zhuǎn)相除法或者更高級(jí)的遞歸算法。

　　4、簡(jiǎn)化問(wèn)題：

　　如果發(fā)現(xiàn)某些模數(shù)之間不互質(zhì)，可以通過(guò)約簡(jiǎn)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，即將不互質(zhì)的模數(shù)合并成互質(zhì)的模數(shù)。

　　5、利用程序?qū)崿F(xiàn)：

　　對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，可以借助計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言如Python、C++等，利用已有的庫(kù)函數(shù)來(lái)快速高效地求解。

　　總結(jié)起來(lái)，靈活運(yùn)用中國(guó)剩余定理的關(guān)鍵在于理解和熟練掌握模運(yùn)算性質(zhì)，并能夠針對(duì)具體問(wèn)題選擇合適的求解策略。