因數(shù)與倍數(shù)的教材分析
“因數(shù)與倍數(shù)”這一單元的知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)。之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一定的整數(shù)知識(shí)，如整數(shù)的認(rèn)識(shí)、整數(shù)的四則混合運(yùn)算及其應(yīng)用。本單元將進(jìn)一步認(rèn)識(shí)整數(shù)的性質(zhì)，主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：因數(shù)與倍數(shù)，2、5和3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)與合數(shù)。因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念以及最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等內(nèi)容都是初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)學(xué)一直被譽(yù)為“科學(xué)的皇后”，而數(shù)論更被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的皇后”。單元的知識(shí)作為數(shù)論知識(shí)的基礎(chǔ)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。一方面，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，特別是學(xué)習(xí)約分、通分，需要以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)，進(jìn)一步掌握公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，需以質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念為基礎(chǔ)，同時(shí)掌握2、5和3的倍數(shù)的特征。另一方面，學(xué)習(xí)了本單元的知識(shí)，能使學(xué)生加深對(duì)整數(shù)與整數(shù)除法的認(rèn)識(shí)，加之這些知識(shí)比較抽象，而且概念間的聯(lián)系非常緊密，所以也有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。
一、與實(shí)驗(yàn)教材(《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)》，下同)的主要區(qū)別
1.與實(shí)驗(yàn)教材相比，修訂后的教材不再出現(xiàn)整除的概念，因數(shù)和倍數(shù)的概念由整數(shù)除法算式引出，而不是乘法，這樣便于學(xué)生感知因數(shù)與倍數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，領(lǐng)悟這兩個(gè)概念不是針對(duì)整數(shù)乘法，而是反映整數(shù)除法中余數(shù)為0的情況，為后面找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)做準(zhǔn)備。
2.與實(shí)驗(yàn)教材相比，修訂后的教材更加明確了因數(shù)與倍數(shù)的相互依存的關(guān)系。
3.與實(shí)驗(yàn)教材相比，在學(xué)習(xí)2、5、3的倍數(shù)的特征時(shí)，修訂后的教材均采用了百數(shù)表，這樣使學(xué)生的探究學(xué)習(xí)更加開放，有利于提高學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
4.與實(shí)驗(yàn)教材相比，修訂后的教材增加了兩數(shù)之和的奇偶性的探討，讓學(xué)生在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，豐富解決問題的策略。
二、教材例題分析
(一)因數(shù)和倍數(shù)
例1：因數(shù)和倍數(shù)的概念
例1教材給出9個(gè)除法算式，讓學(xué)生試著分類;接著出示以“商是整數(shù)且沒有余數(shù)”為分類標(biāo)準(zhǔn)分成兩類的一種結(jié)果。在此基礎(chǔ)上由第一類中的整數(shù)除法，引出因數(shù)和倍數(shù)的概念，并舉例說明。
從具體的整數(shù)除法等式到抽象的數(shù)學(xué)概念，再由抽象的概念回到具體，舉例說明概念。這樣的思維轉(zhuǎn)換過程有利于學(xué)生認(rèn)知概念，切實(shí)掌握概念。通過讓學(xué)生說一說第一類中每個(gè)算式，誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)“因數(shù)和倍數(shù)是互相依存的”。
在例1的最后，教材指出了本單元中的數(shù)的研究范圍是大于0的自然數(shù)。
例2：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法
例2直接提出問題：“18的因數(shù)有哪幾個(gè)?”引導(dǎo)學(xué)生利用因數(shù)的概念從小到大依次寫出，然后再用集合圖表示出一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)，為后面用交集圖表示兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)打下基礎(chǔ)，并使學(xué)生初步體會(huì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的。
例3：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法
例3教材直接提出問題：“2的倍數(shù)有哪些?”因?yàn)楸怀龜?shù)相當(dāng)于積，所以求2的倍數(shù)可將2和任意非零自然數(shù)相乘得到。學(xué)生在列乘法算式時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的算式是列不完的，因此，2的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。接著也用集合圖表示出2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)交集圖表示兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)奠定基礎(chǔ)。
最后引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出一個(gè)數(shù)的最小、最大因數(shù)和最小倍數(shù)分別是什么，總結(jié)出一個(gè)數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)的個(gè)數(shù)的結(jié)論，在其中滲透從個(gè)別到全體、從具體到一般的抽象歸納思想方法。
(二)2、5、3的倍數(shù)的特征
例1：2、5的倍數(shù)的特征
例1教材采用了百數(shù)表，讓學(xué)生畫圈、畫框、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)。比如，將5的倍數(shù)圈起來，學(xué)生馬上就能發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)都集中在兩列上，特征也非常明顯，一列個(gè)位都是5，另一列個(gè)位都是0，因此學(xué)生能順利的歸納出5的倍數(shù)的特征。同樣道理，將2的倍數(shù)框起來，也能夠顯而易見地發(fā)現(xiàn)其特征。
為了便于學(xué)生總結(jié)自己的發(fā)現(xiàn)，教材以學(xué)生對(duì)話的形式，給出5、2倍數(shù)的特征的不完整描述，讓學(xué)生把特征填寫完整。在總結(jié)了2的倍數(shù)的特征的基礎(chǔ)上，教材引出了偶數(shù)、奇數(shù)的概念。完成了做一做，學(xué)生能夠歸納出既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)的數(shù)的特征。
例2：3的倍數(shù)的特征
例2教材仍采用百數(shù)表，讓學(xué)生先圈數(shù)，再根據(jù)提示，觀察、思考，回答問題，獲得新的發(fā)現(xiàn)。3的倍數(shù)的特征比較隱蔽，且容易受2和5倍數(shù)特征的觀察定式、思維定式的影響。為了盡量避免已學(xué)知識(shí)對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移，教材第(2)條指導(dǎo)語(yǔ)，提出兩個(gè)問題，啟發(fā)學(xué)生排除只看到個(gè)位的定式，然后通過第(3)條指導(dǎo)語(yǔ)，提示變換觀察的角度。
兩個(gè)女孩的對(duì)話，說出了探究過程中思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵內(nèi)容。小精靈的提示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證規(guī)律。
(三)質(zhì)數(shù)和合數(shù)
質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念
教材首先讓學(xué)生找出1—20各數(shù)的全部因數(shù)，然后按照每個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類。在此基礎(chǔ)上給出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。同時(shí)指出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。在小學(xué)階段學(xué)生可以理解為1只有一個(gè)因數(shù)，質(zhì)數(shù)有兩個(gè)因數(shù)，合數(shù)有三個(gè)及多因數(shù)。
例1：找出100以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)
例1教材又采用了百數(shù)表，讓學(xué)生找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。通過學(xué)生的對(duì)話，介紹了兩種操作方法。其中依次劃去每個(gè)質(zhì)數(shù)本身之外的所有倍數(shù)的方法，叫做“篩法”，它是數(shù)論中有著廣泛應(yīng)用的一個(gè)初等方法。
由于小學(xué)用到的質(zhì)數(shù)比較少，所以教材中只要求學(xué)生找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。這些質(zhì)數(shù)不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)還是必要的。
例2：探索兩數(shù)之和的奇偶性
例2是以探索兩數(shù)之和的奇偶性為例，讓學(xué)生在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，豐富解決問題的策略。
教材根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)相加的三種情況，提出了三個(gè)問題�！伴喿x與理解”環(huán)節(jié)給出了三個(gè)問題的一種表征方式，即用算式表示。“分析與解答”環(huán)節(jié)提示了三種獲取結(jié)論的方法，即舉例、說理、圖示。事實(shí)上，這三種方法結(jié)合使用，可以提高結(jié)論的可靠性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解和確信感�！盎仡櫯c反思”環(huán)節(jié)給出了用大數(shù)試一試的檢驗(yàn)方法，并提出問題，請(qǐng)學(xué)生思考其他的驗(yàn)證方法。也就是啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系加減法的關(guān)系想到：如果“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”是對(duì)的，那么一定有“奇數(shù)—奇數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)—偶數(shù)=奇數(shù)”。這樣既驗(yàn)證和的奇偶性，又獲得了差的奇偶性的結(jié)論。作為教師必須清楚，舉例驗(yàn)證本質(zhì)上只是不完全歸納，不是證明。
本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：因數(shù)和倍數(shù)的概念;2、5、3的倍數(shù)的特征;質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn)是概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，在建立概念、運(yùn)用概念的過程中，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)的抽象能力與推理能力。
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