二次函數(shù)知識總結(jié)
一、定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a0)，則稱y為x的二次函數(shù)。
二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：
y=ax2+bx+c(a0)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0)，此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(h，k)交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)時，x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，0)和B(x2，0))，對稱軸所在的直線為x=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-
三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。
四、拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-，對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-，)。當(dāng)x=-時，y最值=，當(dāng)a0時，函數(shù)y有最小值;當(dāng)a0時，函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時，P在y軸上(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0);當(dāng)=b2-4ac=0時，P在x軸上(即函數(shù)與x軸只有一個交點(diǎn))。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當(dāng)a0時，拋物線開口向上;當(dāng)a0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等;若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數(shù)。
4.二次項(xiàng)系數(shù)a和一次項(xiàng)系數(shù)b共同決定對稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當(dāng)對稱軸在y軸左邊時，a與b同號(即ab當(dāng)對稱軸在y軸右邊時，a與b異號(即ab0)。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置，拋物線與y軸交于點(diǎn)(0，c)。
6.拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交點(diǎn)個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，對應(yīng)方程有兩個不相同的實(shí)數(shù)根;=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)，對應(yīng)方程有兩個相同的實(shí)數(shù)根。=b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，對應(yīng)方程沒有實(shí)數(shù)根。
五、二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。(參考四-6)
六、常用的計(jì)算方法
1、求解析式的時候：若給定三個普通點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0)，分別將三點(diǎn)坐標(biāo)代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a0)，再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點(diǎn)式即可求出解析式;若給定有與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的交點(diǎn)式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內(nèi)的正負(fù)號。
2、若求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo);
3、若求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式;
4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點(diǎn)坐標(biāo))。
5、當(dāng)需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點(diǎn)時，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，與x軸只有一個交點(diǎn)時，=0，與x軸有兩個交點(diǎn)時，gt;0。對的判定方法仍然是用配方的方法。
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