函數(shù)方案設計難題

　　函數(shù)，最早由中國清朝數(shù)學家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學》。以下是小編收集的方案設計難題，歡迎查看！

　　一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系，在實際生活中有廣泛的應用。例如，利用一次函數(shù)等有關知識可以在某些經濟活動中作出具體的方案決策。近幾年來一些省市的中考或競賽試題中出現(xiàn)了這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時代氣息和很強的選拔功能。

　　1．生產方案的設計

　　例1  某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件。已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。

　　(1)要求安排A、B兩種產品的生產件數(shù)，有哪幾種方案?請你設計出來；

　　(2)生產A、B兩種產品獲總利潤是y(元)，其中一種的生產件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)的性質說明(1)中的哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?

　　(98年河北)

　　解  (1)設安排生產A種產品x件，則生產B種產品是(50-x)件。由題意得

　　解不等式組得         30≤x≤32。

　　因為x是整數(shù)，所以x只取30、31、32，相應的(50-x)的值是20、19、18。

　　所以，生產的方案有三種，即第一種生產方案：生產A種產品30件，B種產品20件；第二種生產方案：生產A種產品31件，B種產品19件；第三種生產方案：生產A種產品32件，B種產品18件。

　　(2)設生產A種產品的件數(shù)是x，則生產B種產品的件數(shù)是50-x。由題意得

　　y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)

　　因為 -500<0,   所以  此一次函數(shù)y隨x的增大而減小，

　　所以  當x=30時，y的值最大。

　　因此，按第一種生產方案安排生產，獲總利潤最大，最大利潤是：-500·3+6000=4500(元)。

　　本題是利用不等式組的知識，得到幾種生產方案的設計，再利用一次函數(shù)性質得出最佳設計方案問題。

　　2.調運方案設計

　　例2  北京某廠和上海某廠同時制成電子計算機若干臺，北京廠可支援外地10臺，上海廠可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，漢口6臺。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺。求：

　　(1)若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少臺?

　　(2)若要求總運費不超過8200元，共有幾種調運方案?

　　(3)求出總運費最低的調運方案，最低總運費是多少元?

　　解  設上海廠運往漢口x臺，那么上海運往重慶有(4-x)臺，北京廠運往漢口(6-x)臺，北京廠運往重慶(4+x)臺，則總運費W關于x的一次函數(shù)關系式：

　　W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

　　(1) 當W=84(百元)時，則有76+2x=84,解得x=4。

　　若總運費為8400元，上海廠應運往漢口4臺。

　　(2) 當W≤82(元)，則

　　解得0≤x≤3，因為x只能取整數(shù)，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。

　　答：若要求總運費不超過8200元，共有4種調運方案。

　　(3) 因為一次函數(shù)W=76+2x隨著x的增大而增大，又因為0≤x≤3，所以當x=0時，函數(shù)W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運費是7600元。

　　此時的調運方案是：上海廠的4臺全部運往重慶；北京廠運往漢口6臺，運往重慶4臺。

　　本題運用了函數(shù)思想得出了總運費W與變量x的一般關系，再根據要求運用方程思想、不等式等知識解決了調運方案的設計問題。并求出了最低運費價。

　　3．營方案的設計

　　例3某新建商場設有百貨部、服裝部和家電部三個經營部，共有190名售貨員，計劃全商場日營業(yè)額(指每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元。由于營業(yè)性質不同，分配到三個部的售貨員的人數(shù)也就不等，根據經驗，各類商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1，每1萬元營業(yè)額所得利潤情況如表2。

　　商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經營部，設分配給百貨部、服裝部和家電部的營業(yè)額分別為x(萬元)、y(萬元)、z(萬元)(x,y,z都是整數(shù))。

　　(1) 請用含x的代數(shù)式分別表示y和z；

　　(2) 若商場預計每日的總利潤為C(萬元)，且C滿足19≤C≤19.7，問這個商場應怎樣分配日營業(yè)額給三個經營部?各部應分別安排多少名售貨員?

　　解  (1)由題意得 ，解得

　　(2)  C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

　　因為  19≤C≤19.7，  所以  9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得  8≤x≤10。

　　因為  x,y,z是正整，且x為偶數(shù)，所以  x=8或10。

　　當x=8時，y=23,z=29，售貨員分別為40人，92人，58人；

　　當x=10時，y=20,z=30，售貨員分別為50人，80人，60人。

　　本題是運用方程組的知識，求出了用x的代數(shù)式表示y、z，再運用不等式和一次函數(shù)等知識解決經營調配方案設計問題。

　　4．優(yōu)惠方案的設計

　　例4  某校校長暑假將帶領該校市級“三好生”去北京旅游。甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優(yōu)待�！币衣眯猩缯f：“包括校長在內，全部按全票價的6折(即按全票價的60%收費)優(yōu)惠。”若全票價為240元。

　　(1)設學生數(shù)為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式)；

　　(2)當學生數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費一樣；

　　(3)就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

　　解  (1)y甲=120x+240,  y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

　　(2)根據題意，得120x+240=144x+144,  解得  x=4。

　　答：當學生人數(shù)為4人時，兩家旅行社的收費一樣多。

　　(3)當y甲>y乙，120x+240>144x+144，  解得  x<4。

　　當y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。

　　答：當學生人數(shù)少于4人時，乙旅行社更優(yōu)惠；當學生人數(shù)多于4人時，甲旅行社更優(yōu)惠；本題運用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識，解決了優(yōu)惠方案的設計問題。

　　綜上所述，利用一次函數(shù)的圖象、性質及不等式的整數(shù)解與方程的有關知識解決了實際生活中許多的方案設計問題，如果學生能切實理解和掌握這方面的知識與應用，對解決方案問題的數(shù)學題是很有效的。

　　練習

　　1．某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙種布料26米，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產L、M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利潤30元。設生產L型號的童裝套數(shù)為x，用這批布料生產這兩種型號的童裝所獲利潤為y(元)。

　　(1)寫出y(元)關于x(套)的函數(shù)解析式；并求出自變量x的取值范圍；

　　(2)該廠在生產這批童裝中，當L型號的童裝為多少套時，能使該廠所獲的利潤最大?最大利潤為多少?

　　2．A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現(xiàn)要把化肥運往C、D兩農村，如果從A城運往C、D兩地運費分別是20元/噸與25元/噸，從B城運往C、D兩地運費分別是15元/噸與22元/噸，現(xiàn)已知C地需要220噸，D地需要280噸，如果個體戶承包了這項運輸任務，請幫他算一算，怎樣調運花錢最小?

　　3．下表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤。某汽車運輸公司計劃裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售(每輛汽車按規(guī)定滿載，并且每輛汽車只裝一種蔬菜)

　　(2)公司計劃用20輛汽車裝運甲、乙、丙三種蔬菜36噸到B地銷售(每種蔬菜不少于一車)，如何安排裝運，可使公司獲得最大利潤?最大利潤是多少?  (1)若用8輛汽車裝運乙、丙兩種蔬菜11噸到A地銷售，問裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛?

　　4．有批貨物，若年初出售可獲利2000元，然后將本利一起存入銀行。銀行利息為10%，若年末出售，可獲利2620元，但要支付120元倉庫保管費，問這批貨物是年初還是年末出售為好?

　　答案：

　　1. (1) y=15x+1500；自變量x的取值范圍是18、19、20。

　　(2) 當x=20時，y的最大值是1800元。

　　2. 設A城化肥運往C地x噸，總運費為y元，則y=2x+10060  (0≤x≤200)，

　　當x=0時，y的最小值為10060元。

　　3. (1) 應安排2輛汽車裝運乙種蔬菜，6輛汽車裝運丙種蔬菜。

　　(2) 設安排y輛汽車裝運甲種蔬菜，z輛汽車裝運乙種蔬菜，則用［20-(y+z)］輛汽車裝運丙種蔬菜。

　　得  2y+z+1.5［20-(y+z)］=36，化簡，得   z=y-12，所以  y-12=32-2y。

　　因為  y≥1， z≥1， 20-(y+z)≥1，所以  y≥1， y-12≥1， 32-2y≥1，

　　所以          13≤y≤15.5。

　　設獲利潤S百元，則S=5y+108，

　　當y=15時，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。

　　4. (1) 當成本大于3000元時，年初出售好；

　　(2) 當成本等于3000元時，年初、年末出售都一樣；

　　(3) 當成本小于3000元時，年末出售好。