一次函數(shù)方案設計問題

　　一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有著密切聯(lián)系，接下來小編搜集了一次函數(shù)方案設計問題，歡迎查看，希望幫助到大家。

　　1、優(yōu)惠方案的設計

　　例： 某校校長暑假將帶領該校市級“三好生”去北京旅游。甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優(yōu)待�！币衣眯猩缯f：“包括校長在內，全部按全票價的6折(即按全票價的60%收費)優(yōu)惠�！比羧�票價為240元。(x大于等于1)

　　(1)設學生數(shù)為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式)；

　　(2)當學生數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費一樣；

　　(3)就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

　　解  (1)y甲=120x+240,  y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

　　(2)根據題意，得120x+240=144x+144,  解得 x=4。

　　答：當學生人數(shù)為4人時，兩家旅行社的收費一樣多。

　　(3)當y甲>y乙，120x+240>144x+144， 解得  1≤x<4。

　　當y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。

　　答：當學生人數(shù)少于4人大于等于1時，乙旅行社更優(yōu)惠；當學生人數(shù)多于4人時，甲旅行社更優(yōu)惠；本題運用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識，解決了優(yōu)惠方案的設計問題。

　　綜上所述，利用一次函數(shù)的圖象、性質及不等式的整數(shù)解與方程的有關知識解決了實際生活中許多的方案設計問題。

　　2.調運方案設計

　　例：北京某廠和上海某廠同時制成電子計算機若干臺，北京廠可支援外地10臺，上海廠可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，漢口6臺。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺。求：

　　(1)若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少臺?

　　(2)若要求總運費不超過8200元，共有幾種調運方案?

　　(3)求出總運費最低的調運方案，最低總運費是多少元?

　　設上海運往漢口x臺

　　解：設上海廠運往漢口x臺，那么上海運往重慶有(4-x)臺，北京廠運往漢口(6-x)臺，北京廠運往重慶(4+x)臺，則總運費W關于x的一次函數(shù)關系式：

　　W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

　　(1) 當W=84(百元)時，則有76+2x=84,解得x=4。

　　若總運費為8400元，上海廠應運往漢口4臺。

　　(2) 當W≤82(元)，則

　　解得0≤x≤3，因為x只能取整數(shù)，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。

　　答：若要求總運費不超過8200元，共有4種調運方案。

　　(3) 因為一次函數(shù)W=76+2x隨著x的增大而增大，又因為0≤x≤3，所以當x=0時，函數(shù)W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運費是7600元。

　　此時的調運方案是：上海廠的4臺全部運往重慶；北京廠運往漢口6臺，運往重慶4臺。

　　本題運用了函數(shù)思想得出了總運費W與變量x的一般關系，再根據要求運用方程思想、不等式等知識解決了調運方案的設計問題。并求出了最低運費價。

　　3、生產方案的設計

　　例： 某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件。已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。

　　(1)要求安排A、B兩種產品的生產件數(shù)，有哪幾種方案?請你設計出來；

　　(2)生產A、B兩種產品獲總利潤是y(元)，其中一種的生產件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)的性質說明(1)中的哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?

　　解  (1)設安排生產A種產品x件，則生產B種產品是(50-x)件。由題意得

　　列不等式組：

　　9x+4(50-x) ≤360

　　3x+10(5-x) ≤290

　　解不等式組得         30≤x≤32。

　　因為x是整數(shù)，所以x只取30、31、32，相應的(50-x)的值是20、19、18。

　　所以，生產的方案有三種，即第一種生產方案：生產A種產品30件，B種產品20件；第二種生產方案：生產A種產品31件，B種產品19件；第三種生產方案：生產A種產品32件，B種產品18件

　　(2)設生產A種產品的件數(shù)是x，則生產B種產品的件數(shù)是50-x。由題意得

　　y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)

　　因為-500<0,   所以 此一次函數(shù)y隨x的增大而減小，

　　所以  當x=30時，y的值最大。

　　因此，按第一種生產方案安排生產，獲總利潤最大，最大利潤是：-500·3+6000=4500(元)。

　　本題是利用不等式組的知識，得到幾種生產方案的設計，再利用一次函數(shù)性質得出最佳設計方案問題。

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